Calcule ∫ csc 2 ⁡ x   c o t g   x   d x por dois métodos: (b) tomando v = csc x .

Passo 1

Essa questão pode ser resolvido através da substituição de variável. Já nos foi dado a substituição a ser feita ( v = c s c x ) . Vamos derivar os dois lados da expressão para podermos efetuar o cálculo da integral.

d u = - c s c x   c o t g x   d x

Com a expressão acima podemos substituir facilmente na integral e, a partir daí, calcular a integral.

Passo 2

Vamos agora substituir as variáveis na integral.

∫ csc 2 ⁡ x   c o t g   x   d x   = ∫ c s c x   c s c x   c o t g x   d x ∫ c s c x   c s c x   c o t g x   d x = ∫ - v d v

Passo 3

Feita a substituição, podemos calcular a integral.

- ∫ v d v = - v 2 2 = - c s c ² x 2 + C

Resposta

O resultado final é:

∫ csc 2 ⁡ x   c o t g   x   d x = - c s c ² x 2 + C

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