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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 63

Faça uma substituição u apropriada da forma u = x 1 / n ou u = x + a 1 / n e, então, calcule a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, confirme que o resultado é equivalente ao de (a).

∫ x 3 1 + x 2     d x  

Passo 1

Faça uma substituição da forma u = x 2 + a 1 / n .

Se :

u = ( 1 + x 2 ) 1 / 2

u 2 = 1 + x 2

2 u d u = 2 x d x

d x = u d u x

Podemos reescrever a equação como:

∫ x 3 1 + x 2     d x   = ∫ u 2 - 1 x u     u x d x    

Então:

∫ x 3 1 + x 2     d x = ∫ ( u 2 - 1 )     d u

Resolvendo a integral:

∫ x 3 1 + x 2     d x = ∫ ( u 2 - 1 )     d u = u 3 3 - u + C

Retornando a substituição u = 1 + x 2 1 / 2 :

∫ x 3 1 + x 2     d x = ( 1 + x 2 ) 3 / 2 3 - 1 + x 2 1 / 2 + C

Passo 2

Usando um CAS (pode ser até mesmo um programa online como é o caso do Symbolab):

Resposta

∫ x 3 1 + x 2     d x = ( 1 + x 2 ) 3 / 2 3 - 1 + x 2 1 / 2 + C

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