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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 2j

Calcule a derivada.

f (x) = (x tg 3 x)/(x^2 + 4)

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da divisão:

f^' (x) = (g^' (x) h (x) - g (x) h ' (x))/([h (x)]^2)

Onde:

g (x) = x tg 3 x

e

h (x) = x^2 + 4

Assim temos então que:

((x tg 3 x)/(x^2 + 4))^' = (g^' (t) h (t) - g (t) h ' (t))/([h (t)]^2) = ((x tg 3 x)^' (x^2 + 4) - (x tg 3 x) (x^2 + 4)^')/([x^2 + 4]^2)

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função constante, da função trigonométrica e do polinômio, além da regra da cadeia:

(c)^' = 0

(tg (x))^' = sec^2 (x)

(x^n)^' = n x^(n - 1)

y^' = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 3

Primeiro vamos calcular g^' (x) , vamos ter que usar a regra do produto:

(r (x) s (x))^' = r^' (x) s (x) + s^' (x) r (x)

Com:

r (x) = x

s (x) = tg 3 x

Vamos calcular:

g^' (x) = (x tg 3 x)^' = r^' (x) s (x) + s^' (x) r (x) = (x)^' (tg 3 x) + (tg 3 x)^' (x) = (x^(1 - 1)) (tg 3 x) + sec^2 3 x (3 x)^' (x) = (x^0) (tg 3 x) + x sec^2 3 x (3 x^(1 - 1)) = (1) (tg 3 x) + x sec^2 3 x (3 x^0) = tg 3 x + x sec^2 3 x (3 * 1) = tg 3 x + 3 x sec^2 3 x

Agora para h^' (x) :

h^' (x) = (x^2 + 4)^' = 2 x^(2 - 1) + 0 = 2 x

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

f^' (x) = ((x tg 3 x)/(x^2 + 4))^' = ((x tg 3 x)^' (x^2 + 4) - (x tg 3 x) (x^2 + 4)^')/([x^2 + 4]^2) = ((tg 3 x + 3 x sec^2 3 x) (x^2 + 4) - (x tg 3 x) 2 x)/((x^2 + 4)^2) = (x^2 tg 3 x + 3 x^3 sec^2 3 x + 4 tg 3 x + 12 x sec^2 3 x - 2 x^2 tg 3 x)/((x^2 + 4)^2) = (- x^2 tg 3 x + 3 x^3 sec^2 3 x + 4 tg 3 x + 12 x sec^2 3 x)/((x^2 + 4)^2)

Resposta

f^' (x) = (- x^2 tg 3 x + 3 x^3 sec^2 3 x + 4 tg 3 x + 12 x sec^2 3 x)/((x^2 + 4)^2)

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