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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 2a

Calcule a derivada

y = sqrt(1 + sqrt(x))

Passo 1

Essa equação do jeito que esta parece muito estranha vamos reescrever ela

y = sqrt(1 + sqrt(x))

y = (1 + x^((1)/(2)))^((1)/(2))

Agora ficou melhor. Temos uma função composta aqui. Então temos que usar a Regra da cadeia. Vamos só dar uma lembrada de como ela funciona

(d)/(d x) (f ( g (x)) = f^' (g (x)) * g ' ( x )

Ótimo, podemos começar:

y = (1 + x^((1)/(2)))^((1)/(2))

(d y)/(d x) = (1)/(2) (1 + sqrt(x))^((1)/(2) - 1) * (d)/(d x) (1 + sqrt(x))

Vamos ver agora como é a derivada da função dentro da raiz

(d)/(d x) (1 + sqrt(x)) = 0 + (1)/(2) x^((1)/(2) - 1) = (1)/(2 sqrt(x))

Então temos que:

(d y)/(d x) = (1)/(2 sqrt(1 + sqrt(x))) * (1)/(2 sqrt(x))

(d y)/(d x) = (1)/(4 sqrt(x) sqrt(1 + sqrt(x)))

Está pronto, vamos só ordenar ela um pouquinho

(d y)/(d x) = (1)/(4 sqrt(x + x sqrt(x)))

Prontinho, terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução 😊

Resposta

(d y)/(d x) = (1)/(4 sqrt(x + x sqrt(x)))

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Use a definição de derivada para encontra f ’ ( x ) , se f (x) = 3 x^2 - 5 x + 1 .
Use a definição de derivada para encontra f ’ ( - 5 ) , se f (x) = (3)/(x + 2) .
Use a definição de derivada para encontra f ’ ( 5 ) , se f (x) = sqrt(3 x + 1) .
Use a definição de derivada para encontra f ’ ( x ) , se f (x) = sqrt(4 x - 3) .
Ache a derivada da função dada.f (x) = 4 x^(1 // 2) + 5 x^(- 1 // 2)