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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.12 - Ex. 1o

y = x^(x^x)

Passo 1

Vamos começar utilizar a regra da derivadade de exponencias:

(d y)/(d x) = x^(x^x) (d)/(d x) [ x^x ln x ]

Bem, vamos pegar a parte com a derivada e usar a regra do produto:

(d)/(d x) [ x^x ln x ] = ( ln x ) x^x (d)/(d x) [ x ln x ] + x^x (1)/(x)

Pegando o termo com a derivada:

(d)/(d x) [x l n x] = ln x + x (1)/(x) = ln x + 1

Dessa forma, temos:

(d)/(d x) [ x^x ln x ] = ( ln x ) x^x [ln x + 1] + x^x (1)/(x)

(d)/(d x) [ x^x ln x ] = x^x [ln^2 x + ln x] + x^(x - 1)

Finalmente, temos:

(d y)/(d x) = x^(x^x) [x^x [ln^2 x + ln x] + x^(x - 1)]

Resposta

(d y)/(d x) = x^(x^x) [x^x [ln^2 x + ln x] + x^(x - 1)]

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Nos Exercícios 41-54, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada.51. y = x x 2 + 1 x + 1 2 / 3
Calcule a derivadaa) f (x) = 5^x + log_3 x
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Use a derivação logarítmica para achar a derivada de função. y = x cos ⁡ x