y = x^(x^x)

Passo 1

Vamos começar utilizar a regra da derivadade de exponencias:

d y d x = x x x d d x [ x x ln ⁡ x ]    

Bem, vamos pegar a parte com a derivada e usar a regra do produto:

d d x [ x x ln ⁡ x ] = ( ln ⁡ x ) x x d d x   [ x ln ⁡ x ]   + x x 1 x    

Pegando o termo com a derivada:

d d x x   l n x = ln ⁡ x + x 1 x = ln ⁡ x + 1

Dessa forma, temos:

d d x [ x x ln ⁡ x ] = ( ln ⁡ x ) x x ln ⁡ x + 1   + ⁡   x x 1 x    

d d x [ x x ln ⁡ x ] =   ⁡ x x ln 2 ⁡ x + ln ⁡ x   + ⁡   x x - 1    

Finalmente, temos:

d y d x = x x x x x ln 2 ⁡ x + ln ⁡ x   + ⁡   x x - 1

Resposta

d y d x = x x x x x ln 2 ⁡ x + ln ⁡ x   + ⁡   x x - 1

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