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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.4 - Ex. 26a

26. Calcule, se existir: (a) int_(- 1)^1 (d x)/(x) ; (b) underset(r -> 0^+)(lim) [int_(- 1)^(- r) (d x)/(x) + int_r^1 (d x)/(x)]

Letra (a)

Passo 1

Para determinar se a integral é convergente ou divergente, devemos obter o seu valor primeiro para com o resultado em mãos afirmar se ela convergiu para algum número ou divergiu para o infinito.

Quando se trabalha com integrais impróprias, devemos lembrar de analisar onde está havendo a descontinuidade para transformar a integral dada num limite ,com um t qualquer tendendo para onde ela é descontínua, da integral dada.

Devemos também, as vezes , fazer algumas jogadinhas nas integrais para parecer com alguma integral que apresenta o seu resultado já pronto e assim poupar tempo nas resoluções.

Passo 2

Ao analisarmos a integral dada percebemos que existe uma descontinuidade infinita em 0 (que está dentro do intervalo dos limetes de integração dado), sendo assim podemos reescrever a integral dada da seguinte forma:

int_(- 1)^1 (d x)/(x) = underset(t -> 0^-)(lim) int_(- 1)^t (d x)/(x) d x + underset(t -> 0^+)(lim) int_t^1 (d x)/(x) d x = underset(t -> 0^-)(lim) [l n x]_(- 1)^t + underset(t -> 0^+)(l i m) [l n x]_t^1 =

= underset(t -> 0^-)(l i m) [l n t - (ln (- 1))] + underset(t -> 0^+)(l i m) [l n 1 - l n t] = underset(t -> 0^-)(l i m) l n t + underset(t -> 0^+)(l i m) ( - l n t ) = 0

Resposta

int_(- 1)^1 (d x)/(x) = 0

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