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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 8

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule a convergente

∫ 1 ∞ 1 1 + 2 x 3   d x  

Passo 1

Opaa, tudo bom?! Bora fazer essa questão! Temos a seguinte integral:

∫ 1 ∞ 1 1 + 2 x 3   d x  

O enunciado pede pra a gente determinar se essa integral é convergente ou divergente e se ela for convergente temos que calcula-la!

O que temos em mãos é uma integral imprópria do tipo 1. Esse tipo de integral tem um dos limites de integração igual a ± ∞ e é exatamente o nosso caso, pois o limite inferior é - ∞ .

Por definição temos que:

∫ - ∞ b f ( x ) d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ t b f ( x ) d x

Então pra resolver essa questão, vamos primeiro escrever ela como um limite. Depois a gente calcula a integral e por último a gente avalia: É possível calcular o limite?

A melhor forma de descobrir se uma coisa é possível é tentando!

Se chegarmos a um resultado numérico, então a nossa integral é convergente, se não ela é divergente!

Passo 2

Já identificamos que a integral é imprópria, né? Então vamos seguir aquele procedimento:

∫ 1 ∞ 1 1 + 2 x 3   d x   = lim t → ∞ ⁡     ∫ 1 t 1 1 + 2 x 3   d x

Resolvendo a integral, usando a substituição u =   1 + 2 x → d u = 2 d x  

∫ 1 1 + 2 x 3   d x = ∫ 1 2   u - 3 d u   = - 1 4 u - 2  

Voltando pra variável original:

∫ 1 2   u - 3 d u = - 1 4 1 + 2 x - 2

∫ 1 2   u - 3 d u =   - 1 4 1 1 + 2 x 2  

Passo 3

Agora vamos jogar no limite:

lim t → ∞ ⁡     ∫ 1 t 1 + 2 x - 3   d x = -   1 4   l i m t → ∞ 1 1 + 2 x 2   ​ 1 t    

Aplicando nos limites de integração:

∫ 1 ∞ 1 1 + 2 x 3   d x   = - 1 4 l i m t → ∞ 1 1 + 2 t 2 - 1 9

∫ 1 ∞ 1 1 + 2 x 3   d x   =   1 36  

Opa! Então a integral converge!

Resposta

∫ 1 ∞ 1 1 + 2 x 3   d x     c o n v e r g e   p a r a   1 36

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