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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 50b

Use a fórmula deduzida e (a) para calcular int x^4 (ln x)^2 d x .

Passo 1

Temos então a fórmula:

int x^r (ln x)^q d x = (x^(r + 1) (ln x)^q)/(r + 1) - (q)/(r + 1) int x^r (ln x)^(q - 1) d x

Para r = 4 e q = 2 :

int x^4 (ln x)^2 d x = (x^5 (ln x)^2)/(5) - (2)/(5) int x^4 ln x d x

Passo 2

Calculamos novamente a integral da direita usando a mesma fórmula, agora para r = 4 e q = 1 :

(x^5 (ln x)^2)/(5) - (2)/(5) int x^4 ln x d x = (x^5 (ln x)^2)/(5) - (2)/(5) ((x^5 ln x)/(5) - (1)/(5) int x^4 d x) =

(x^5 (ln x)^2)/(5) - (2 x^5 ln x)/(25) + (2)/(25) int x^4 d x = (x^5 (ln x)^2)/(5) - (2 x^5 ln x)/(25) + (2)/(25) * (x^5)/(5) + C

= (x^5 (ln x)^2)/(5) - (2 x^5 ln x)/(25) + (2 x^5)/(125) + C

Resposta

int x^4 (ln x)^2 d x = (x^5 (ln x)^2)/(5) - (2 x^5 ln x)/(25) + (2 x^5)/(125) + C

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