Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule a convergente

∫ 0 ∞   x 2   1 - x 3 d x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos determinar se a seguinte integral é convergente ou divergente:

∫ 0 ∞   x 2   1 - x 3 d x

Se ela for convergente, devemos resolver a integral.

Aqui a gente está trabalhando com uma integral imprópria (por conta daquele limite no infinito).

Assim, para prosseguirmos, devemos fazer o seguinte procedimento:

∫ 0 ∞   x 2   1 - x 3 d x = lim t → ∞ ⁡     ∫ 0 t       x 2   1 - x 3   d x

Agora é resolver essa integral!! 😉

Se ela tender a um número real, ela será convergente e igual àquele número.

Caso contrário ela será divergente!!

Passo 2

Resolvendo a integral por substituição, fazemos:

u = 1 - x 3

d u = - 3 x 2   d x ∴

d x = - 1 3 x 2   d u

Assim, substituindo na integral, obtemos:

lim t → ∞ ⁡     ∫ 0 t       x 2 u 1 2   - 1 3 x 2   d u ∴

- 1 3 lim t → ∞ ⁡     ∫ 0 t       u - 1 2   d u

Resolvendo a integral pela regra da potência, temos:

- 1 3 ∙ 2 3   lim ⁡   t → ∞   u 1 2 x = 0 x = t

Substituindo u :

- 2   9 lim ⁡   t → ∞ 1 + x 3 0 t  

l i m t → ∞   1 + t 3 - 1 = ∞

Assim, a nossa integral diverge!!

Resposta

Diverge

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