Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

Beleza, vamos colocar a mão na massa. Escrevendo a nossa integral na forma de limite, temos:

Vamos pensar que método poderíamos usar pra resolver a nossa integral:

Procurando entre as identidades trigonométricas vemos que:

Então podemos fazer:

Jogando a constante pra for a e lembrando que a integral de uma soma é a soma das integrais, temos que:

Pra calcular essa integral vamos ignorar os limites e fazer de conta que ela é uma integral indefinida. Depois a gente volta com os intervalos direitinho, ok?

Vamos calcular cada integral separadamente. Temos:

Como falamos lá na parte da estratégia, aqui vamos usar o método de substituição simples, fazendo:

Derivando:

Substituindo:

Arrumando, ficamos com:

Essa integral é tabelada! Temos que:

Então:

Lembrando que . Vamos voltar pra variável original:

Agora vamos integrar:

Essa não tem mistério, é como se tivéssemos que é igual a , então pela regra da potência:

Finalmente podemos juntar tudo:

Agora podemos avaliar nosso limite:

A constante foi embora porque a nossa integral é definida. Aplicando os limites de integração:

Arrumando temos:

Aqui a gente tem que parar pra refletir um pouquinho! O seno é uma função trigonométrica que sempre vai variar entre . O fato de ter o ali no ângulo não muda nada, vamos continuar tendo:

Então, concorda comigo que a medida que vamos pro infinito o seno vai continuar oscilando e nunca vai convergir pra um número fixo?!

Então a nossa função é divergente!