O átomo de hidrogênio é composto por um próton no núcleo e um elétron, que se move ao redor do núcleo. Na teoria quântica de estrutura atômica supõe-se que o elétron não se mova em uma órbita bem definida. Ao contrário, ele ocupa um estado conhecido como , que pode ser pensado como uma “nuvem” de carga negativa rodeando o núcleo. No estado de energia mais baixa, chamado , ou , é suposto que o formato do orbital seja uma esfera com centro no núcleo. Essa esfera é descrita em termos da função densidade de probabilidade

onde é o . A integral

dá a probabilidade de o elétron ser encontrado dentro da esfera de raio metros centrada no núcleo.

1. Verifique se é uma função densidade de probabilidade.
2. Encontre Para que valor de a função tem seu valor máximo?
3. Desenhe a função densidade.
4. Calcule a probabilidade de o elétron estar dentro da esfera de raio centrada no núcleo.
5. Calcule a distância média do elétron e do núcleo no estado fundamental do átomo de hidrogênio.

A questão já nos diz que para . isso significa que ela vai ser sempre maior ou igual a zero para todo , ou seja:

Agora vamos verificar a segunda condição, calculando a integral:

Substituindo e a condição (que representa o intervalo ), temos:

Isso nos dá uma integral imprópria, que pode ser escrita na forma do limite:

Usando integração por partes, um sistema de computação algébrico, (ou dando aquela olhadinha no Exercício 18), a gente tem que:

Agora a gente usa com e aplica a regra de L’Hopital para obter:

Isso satisfaz a segunda condição para a função ser uma função densidade de probabilidade.

Agora vamos (b) calcular o para que valor de da função tenha seu valor máximo:

Assim, usando L’Hopital, temos que:

Simplificando:

E calculando o limite, obtemos:

Para encontrar o máximo de , nós derivamos a função:

Igualando a zero, temos:

Ou

muda de positivo para negativo em , então tem um valor máximo em .

(c) É bastante difícil desenhar um retângulo de visualização dessa função, mas como a gente já conhece um ponto máximo, encontrado na parte (b), isso facilita muito!

Assim, temos que:

Com um máximo perto de milhões, e uma área total sob a curva que vale , representando a probabilidade total, nós sabemos que a “corcunda” dessa curva no gráfico deve ser extremamente limitada.

Assim, obtemos o seguinte esboço:

(d) Calculando a probabilidade, usando a fórmula do passo , temos:

Usando o da parte (a), com , temos:

Aplicando o intervalo de integração:

E simplificando:

(e) Agora para calcular a distância média, vamos usar a fórmula:

Assim, substituindo os dados da nossa função, temos:

Integrando por partes três vezes ou usando algum sistema de computação algébrica, nós temos que :

Assim, com e usando L’Hopital, nós obtemos:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉