Calcule a intefral abaixo sem usar tabela:

∫ - 1 ∞ d θ θ 2 + 5 θ + 6  

Passo 1

Primeiro vamos aplicar frações parciais a fim de desmembrar nossa integral em duas. Temos que:

∫ - 1 ∞ d θ θ 2 + 5 θ + 6 = ∫ - 1 ∞ d θ ( θ + 2 ) ( θ + 3 ) = ∫ - 1 ∞ 1 θ + 2 - 1 θ + 3     d θ =

= ∫ - 1 ∞ 1 θ + 2 d θ - ∫ - 1 ∞ 1 θ + 3 d θ

Passo 2

Neste caso temos uma integral com um dos limites sendo infinito, logo temos uma integral imprópria . Por definição se existir uma função contínua f ( x ) em [ a , ∞ ) , então:

  ∫ a ∞ f x d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ a b f ( x ) d x

Assim:

  ∫ - 1 ∞ 1 θ + 2 dθ - ∫ - 1 ∞ 1 θ + 3 dθ = lim b → ∞ ⁡ ∫ - 1 b 1 θ + 2   d θ + lim b → ∞ ⁡ ∫ - 1 b 1 θ + 3 d θ

Passo 3

Vamos aplicar a regra da substituição. Lembre-se que a integração por substituição consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

  lim b → ∞ ⁡ ∫ - 1 b 1 θ + 2   d θ ⇒ u = θ + 2         e   d u = d θ ⇒ lim b → ∞ ⁡ ∫ - 1 b 1 u d u =   lim b → ∞ ⁡ ln ⁡ u b - 1  

lim b → ∞ ⁡ ln ⁡ θ + 2 b - 1   =   lim b → ∞ ⁡ ( ln ⁡ b + 2 - ln ⁡ 1 )    

lim b → ∞ ⁡ ∫ - 1 b 1 θ + 3 d θ ⇒ v = θ + 3     e   d v = d θ ⇒ lim b → ∞ ⁡ ∫ - 1 b 1 v d v =   lim c → ∞ ⁡ ln ⁡ v b - 1

lim b → ∞ ⁡ ln ⁡ θ + 3 b - 1 =   lim c → ∞ ⁡ ( ln ⁡ b + 3 - ln ⁡ ( 2 ) )  

Relembrando que de forma genérica a aplicação dos limites de integração ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Passo 4

Aplicando o limite:

lim b → ∞ ⁡ ( ln ⁡ b + 2 - ln ⁡ 1 )     -     lim b → ∞ ⁡ ( ln ⁡ b + 3 - ln ⁡ ( 2 ) )   =

lim b → ∞ ⁡   ⁡ ln ⁡ b + 2 ln ⁡ b + 3 - ln ⁡ 1 + ln ⁡ 2 = ln ⁡ 2

Observe que como os limites convergem para o mesmo valor (infinito) podemos aplicar a propriedade da soma e subtração.

Resposta

ln ⁡ ( 2 )

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