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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 30

Calcule a integral abaixo:

int_2^4 (d t)/(t sqrt(t^2 - 4 ))

Passo 1

Vamos aplicar a técnica de integração por substituição . Neste caso, a fim de simplificar nossa raiz, vamos substituir y por uma função de u e que resulte em um dy=f’(u) conveniente que irá possibilitar a integração. Assim temos:

int_2^4 (d t)/(t sqrt(t^2 - 4 ))

t = 2 u d t = 2 d u

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

int_2^4 (d t)/(t sqrt(t^2 - 4 )) = int_2^4 (2 d u)/(2 u sqrt(4 u^2 - 4 )) = int_2^4 (d u)/(2 u sqrt(u^2 - 1 )) = (1)/(2) int_2^4 (d u)/(u sqrt(u^2 - 1 ))

Passo 3

Chegamos em uma integral que é uma integral direta trigonométrica . Assim, temos que:

(1)/(2) int_2^4 (d u)/(u sqrt(u^2 - 1 )) = (1)/(2) ( sec^(- 1) |u| ) (4)/(2)

Uma dica para esse tipo de questão é se perguntar “qual função eu derivo para obter esse resultado?” . Neste caso a derivada de sec^(- 1) (y) = (1)/(|y| sqrt(y^2 - 1 )) , como a integral é a operação inversa da derivada você chega quase de imediato na sua respota.

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

(1)/(2) ( sec^(- 1) |u| ) (4)/(2) = (1)/(2) ( sec^(- 1) |(t)/(2)| ) (4)/(2)

Passo 5

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

(1)/(2) ( sec^(- 1) |(t)/(2)| ) (4)/(2) = (1)/(2) ( sec^(- 1) (2) - sec^(- 1) (1) ) = (1)/(2) ((pi)/(3) - 0) = (pi)/(6)

Resposta

(pi)/(6)

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