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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 27

Calcule a integral abaixo sem usar tabela:

int_0^2 (d s)/(sqrt(4 - s^2))

Passo 1

Vamos aplicar a técnica de integração por substituição . Neste caso, a fim de simplificar nossa raiz, vamos substituir s por uma função de u e que resulte em um ds=f’(u) conveniente que irá possibilitar a integração. Assim temos:

int_0^2 (d s)/(sqrt(4 - s^2))

s = 2 s e n ( u ) d s = 2 cos (u) d u

Além disso, vamos mudar os limites de integração fazendo k = f(u), em que k são os limites de integração inicial da integral, e o valor de u que satisfizer a operação irá substituir cada um respectivamente, a fim de facilitar os cálculos. Lembre-se que ao fazer isso, após integrar você não precisa substituir u pela função atribuída a ele.

2 = 2 s e n (u) => 1 = s e n (u) => u = (pi)/(2)

0 = 2 s e n (u) => 0 = s e n (u) => u = 0

Passo 2

Aplicando a substituição temos:

int_0^2 (d s)/(sqrt(4 - s^2)) = int_0^((pi)/(2)) (1)/(sqrt(4 - 4 s e n^2 (u))) 2 cos (u) d u = int_0^((pi)/(2)) (1)/(2 sqrt(1 - s e n^2 (u))) 2 cos (u) d u =

int_0^((pi)/(2)) (1)/(sqrt(cos^2 ( u ))) cos (u) d u = int_0^((pi)/(2)) d u

Passo 3

Agora utilizaremos a regra de integração polinomial que é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Assim:

int_0^((pi)/(2)) d u = ( u ) ((pi)/(2))/(0)

Passo 4

Por fim substituiremos os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

( u ) ((pi)/(2))/(0) = ((pi)/(2) - 0) = (pi)/(2)

Resposta

(pi)/(2)

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