Suponha que f seja contínua em [ 0 ,   ∞ [ e que lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = 1 . É possível que ∫ 0 ∞ f x d x seja convergente?

Passo 1

Essa é uma questão teórica interessante sobre integrais impróprias. Temos uma função contínua para x ≥ 0 porém que não tende a 0 no infinito. A pergunta é se fizermos a integral de f em todo seu domínio (que é infinito), a integral será convergente?

Passo 2

A resposta é não e a justificativa fica clara quando interpretamos a integral como uma área. Se a função não tende a zero no infinito, a área em baixo dela será infinita. Por exemplo, considerando a integral

∫ 0 t f x   d x

com t finito, a integral será finita. Conforme aumentamos t , mudamos também o valor da integral, já que mudamos a área sobre a curva. Agora, se f não se aproxima de 0 , sempre que aumentamos t , a área sobre a curva vai mudar significativamente, de modo que ela não deve convergir para nenhum valor bem definido. Assim, neste caso, uma condição necessária (mas não suficiente) para a integral convirja seria que lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = 0 .

Resposta

Não.

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