Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 18

Calcule as integrais que convirjam.

int_0^8 (d x)/(root(3)(x))

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

int_0^8 (d x)/(root(3)(x))

O integrando não está definido para o limite inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

int_0^8 (d x)/(root(3)(x)) = underset(a -> 0^+)(lim) int_a^8 (d x)/(root(3)(x))

Assim, caso o limite não exista, a integral será divergente.

Passo 3

Dessa forma, resolvendo a integral, teremos:

underset(a -> 0^+)(lim) int_a^8 (d x)/(root(3)(x)) = underset(a -> 0^+)(lim) [(3)/(2) x^(2 // 3)] | [[8],[a]]

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

underset(a -> 0^+)(lim) [(3)/(2) x^(2 // 3)] | [[8],[a]] = (3)/(2) underset(a -> 0^+)(lim) [(8)^(2 // 3) - (a)^(2 // 3)]

Logo:

underset(a -> 0^+)(lim) int_a^8 (d x)/(root(3)(x)) = (3)/(2) (4 - 0) = 6

Como o limite resultou em um valor inteiro, a integral é convergente.

Resposta

int_0^8 (d x)/(root(3)(x)) = 6

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