- Calcule a integral para e .
- Conjecture o valor de quando é um inteiro positivo arbitrário.
- Demonstre sua conjectura usando a indução matemática.
Passo 1
- Então vamos na ordem:
Passo 2
Para resolver nós usamos a integração por partes da seguinte forma:
Portanto
Então,
Resolvemos essa última parte pela regra do L’Hopital!
Passo 3
Para resolver nós usamos a integração por partes da seguinte forma:
Portanto
Usando l’Hopital e o resultado para temos que
Passo 4
-
De acordo com a fórmula 97, temos
Novamente usando l’Hopital e o resultado para temos que
Passo 5
- A gente viu que para os valores de e , nós temos respectivamente que e . Os valores da integral são iguais aos fatoriais para , assim, nós temos que
- Calma que tá acabando, é o último passo!
Passo 6
Vamos supor que a gente tenha para algum inteiro positivo . Assim, teremos que
Pra gente encontrar o valor de nós usamos a integração por partes com
Assim, nós temos que
E que
Assim, a fórmula confirma . Por indução, a fórmula é verdadeira para todos os inteiros positivos. Como , a fórmula funciona para também.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)