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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 60

  1. Calcule a integral ∫ 0 x x n e - x d x para n = 0 ,   1 ,   2 e 3 .
  2. Conjecture o valor de ∫ 0 x x n e - x d x quando n é um inteiro positivo arbitrário.
  3. Demonstre sua conjectura usando a indução matemática.

Passo 1

  1. Então vamos na ordem:

n = 0 :   ∫ 0 ∞ x n e - x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t e - x d x = lim t → ∞ ⁡ - e - x 0 t = lim t → ∞ ⁡ - e - t + 1 = 0 + 1 = 1

Passo 2

n = 1 :   ∫ 0 ∞ x n e - x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t x e - x d x

Para resolver ∫ x e - x d x nós usamos a integração por partes da seguinte forma:

u = x ,   d v = e - x → d u = d x ,   v = - e - x

Portanto

∫ x e - x d x = - x e - x - ∫ - e - x d x = - x e - x - e - x + C = - x - 1 e - x + C

Então,

lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t x e - x d x = lim t → ∞ ⁡ - x - 1 e - x 0 t = lim t → ∞ ⁡ - t e - t - e t + 1 = 0 - 0 + 1 = 1

Resolvemos essa última parte pela regra do L’Hopital!

Passo 3

n = 2 : ∫ 0 ∞ x n e - x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t x 2 e - x d x  

Para resolver ∫ x 2 e - x d x nós usamos a integração por partes da seguinte forma:

u = x 2 ,   d v = e - x → d u = 2 d x ,   v = - e - x

Portanto

lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t x 2 e - x d x = lim t → ∞ ⁡ - x 2 e - x 0 t + 2 lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t x e - x d x = 0 + 0 + 2 ( 1 )

Usando l’Hopital e o resultado para n = 1 temos que

∫ 0 ∞ x n e - x d x = 2

Passo 4

  1. n = 3 : ∫ 0 ∞ x n e - x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t x 3 e - x d x  

    De acordo com a fórmula 97, temos

    lim t → ∞ ⁡ - x 3 e - x 0 t + 32 lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t x 2 e - x d x = 0 + 0 + 3 ( 2 )

    Novamente usando l’Hopital e o resultado para n = 2 temos que

    ∫ 0 ∞ x n e - x d x = 6

    Passo 5

  2. A gente viu que para os valores de n 1 ,   2 e 3 , nós temos respectivamente que ∫ 0 ∞ x n e - x d x = 1 ,   2 e 6 . Os valores da integral são iguais aos fatoriais para n , assim, nós temos que

    3. ∫ 0 ∞ x n e - x d x = n !

    Passo 6

  3. Calma que tá acabando, é o último passo!

Vamos supor que a gente tenha ∫ 0 ∞ x k e - x d x = k ! para algum inteiro positivo k . Assim, teremos que

∫ 0 ∞ x k + 1 e - x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t x k + 1 e - x d x

Pra gente encontrar o valor de ∫ x k + 1 e - x d x nós usamos a integração por partes com

u = x k + 1 ,   d v = e - x d x → d u = k + 1 x k d x ,   v = - e - x

Assim, nós temos que

∫ x k + 1 e - x d x = - x k + 1 e - x - ∫ - k + 1 x k e - x d x =

- x k + 1 e - x + ( k + 1 ) ∫ x k e - x d x

E que

lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t x k + 1 e - x d x = lim t → ∞ ⁡ - x k + 1 e - x 0 t + k + 1 lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t x k e - x d x =

lim t → ∞ ⁡ - t k + 1 e - t + 0 + k + 1 k ! = 0 + 0 + k + 1 ! = k + 1 !

Assim, a fórmula confirma k + 1 . Por indução, a fórmula é verdadeira para todos os inteiros positivos. Como 0 ! = 1 , a fórmula funciona para n = 0 também.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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