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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.5 - Ex. 10

  1. O rótulo de um tipo de lâmpada indica que ela tem uma vida útil média de 1   000 horas. É razoável modelar a probabilidade de falha dessas lâmpadas por uma função densidade exponencial com média μ = 1   000 . Use esse modelo para encontrar a probabilidade de uma lâmpada
    1. queimar durante as primeiras 200 horas,
    2. funcionar por mais de 800 horas.
  2. Qual a mediana da durabilidade dessas lâmpadas?

Passo 1

  1. Com μ = 1   000 temos

    2. f t = 0   s e   t < 0 1 1000 e - t 1000   s e   t ≥ 0

    1. Como são nas primeiras duas horas, nossa integral irá variar entre 0 e 200 , então:

      2. P 0 ≤ X ≤ 200 = ∫ 0 200 1 1000 e - t 1000 d t = - e - t 1000 0 200 = - e - 1 5 + 1 ≈ 0.181

    2. Como são por mais de 800 horas, o intervalo vai de 800 a infinito, então:

    P X > 800 = ∫ 800 ∞ 1 1000 e - t 1000 d t = - e - t 1000 800 x = 0 + - e - 4 5 ≈ 0.449

    Passo 2

  2. Nós precisamos encontrar m tal que ∫ m ∞ f ( t ) d t = 1 2 , então

lim x → ∞ ⁡ ∫ m ∞ 1 1000 e - t 1000 d t = 1 2 → lim x → ∞ ⁡ - e - t 1000 m x = 1 2 → 0 + e - m 1000 = 1 2 →

- m 1000 = ln ⁡ 1 2 = 1000 ln ⁡ 2 ≈ 693.1   h

Resposta

  1. (i) 0.181

    2. (ii) 0.449

  2. 693.1   h
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