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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.5 - Ex. 20

O desvio padrão para uma variável aleatória com função densidade de probabilidade f e média μ é definido como

σ = ∫ - ∞ ∞ x - μ 2 f x d x 1 2

Calcule o desvio padrão para uma função densidade exponencial com média μ .

Passo 1

Pela Teoria (se não lembrar já volta no livro e revisa!) temos que

f x = 0   s e   x < 0 c e - c x   s e   x ≥ 0

onde c = 1 μ . Se a gente usar um sistema de computação algébrico, encontramos

  1. ∫ x e b x d x = e b x b 2 b x - 1
  2. ∫ x 2 e b x d x = e b x b 3 ( b 2 x 2 - 2 b x + 2 )

Passo 2

Agora a gente calcula o desvio assim:

σ 2 = ∫ - ∞ ∞ x - μ 2 f x d x = ∫ - ∞ 0 x - μ 2 f x d x + ∫ 0 ∞ x - μ 2 f x d x =

0 + lim t → ∞ ⁡ c ∫ 0 t x - μ 2 e - c x d x = c lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t x 2 e - c x - 2 x μ e - c x d x

Passo 3

Agora nós usamos as propriedades (1) e (2) que achamos lá em cima, com b = - c , e obtemos

σ 2 = c lim t → ∞ ⁡ - e - c x c 3 c 2 x 2 + 2 c x + 2 - 2 μ e - c x c 2 - c x - 1 + μ 2 e - c x - c 0 t

Pra terminar, usando l’Hopital várias vezes e unindo com o fato que μ = 1 c , temos

σ 2 = c 0 - - 2 c 3 + 2 c 1 c 2 + 1 c 2 1 - c = c 1 c 3 = 1 c 2

σ = 1 c = μ

Resposta

σ = 1 c = μ .

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