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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 32

Calcule a intefral abaixo sem usar tabela:

int_0^2 (d x)/(sqrt(|x - 1|))

Passo 1

Primeiro devemos encontrar as expressões equivalentes a (1)/(sqrt(|x - 1|)) em 0 <= x <= 2 sem os valores absolutos.Assim, temos que:

Para 0 <= x <= 1 : (1)/(sqrt(- x + 1)) e para 1 <= x <= 2 : (1)/(sqrt(x - 1))

Logo, podemos reescrever nossa integral da seguinte maneira:

int_0^2 (d x)/(sqrt(|x - 1|)) = int_0^1 (1)/(sqrt(- x + 1)) d x + int_1^2 (1)/(sqrt(x - 1)) d x

Passo 2

Aplicando a integração por substituição e a regra da potência na primeira e na segunta integral, temos:

int_0^1 (1)/(sqrt(- x + 1)) d x => u = - x + 1 e d u = - d x => int_0^1 - (1)/(sqrt(u)) d u =

= int_0^1 - u^(- (1)/(2)) d u = (- ((u^((1)/(2)))/(1))/(2)) (1)/(0) = (- 2 sqrt(- x + 1 )) (1)/(0)

int_1^2 (1)/(sqrt(x - 1)) d x => u = x - 1 e d u = d x => int_1^2 (1)/(sqrt(u)) d u =

int_1^2 u^(- (1)/(2)) d u = (((u^((1)/(2)))/(1))/(2)) (2)/(1) = (2 sqrt(x - 1 )) (2)/(1)

Lembre-se que a integração polinomial é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

E que a integração por substituição consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

Passo 3

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

(- 2 sqrt(- x + 1 )) (1)/(0) + (2 sqrt(x - 1)) (2)/(1) = (0 - (- 2 sqrt(1))) + (2 sqrt(1) - 0) = 2 + 2 = 4

Resposta

4

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