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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 23

Calcule a integral abaixo sem usar tabela :

int_(- oo)^0 e^(- | x |) d x

Passo 1

Neste caso temos uma integral com um dos limites sendo infinito, logo temos uma integral imprópria . Por definição se existir uma função contínua f ( x ) em ( - oo , b ] , então:

int_(- oo)^b f (x) d x = int_a^b f ( x ) d x

Assim:

int_a^0 e^(- |x|) d x

Passo 2

Para o intervalo - oo <= x <= 0 temos que o equivalente da expressão e^(- |x|) sem os valores absolutos é e^(- (- x)) . Logo podemos reescrever a integral da seguinte maneira:

int_a^0 e^(- |x|) d x = int_a^0 e^(- ( - x )) d x

Passo 3

Calculando a integral, temos:

int_a^0 e^(- ( - x )) d x = ( e^x ) (0)/(a) = ( e^0 - e^a ) = ( 1 - e^a )

Relembrando que de forma genérica calculamos a integral definida da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Passo 4

Aplicando o limite, temos:

( 1 - e^a ) = 1 - e^(- oo) = 1 - (1)/(e^(oo)) = 1 - 0 = 1

Resposta

1

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Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente. ∫ 1 ∞ x + 1 x 4 - x d x
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a. ∫ 0 + ∞ e - x cos ⁡ x d x
Prove que se ∫ - ∞ b f x d x For convergente, então ∫ - b + ∞ f - x d x Também será e terá o mesmo valor.
Prove que a integral imprópria ∫ 1 + ∞ d x x n Será convergente se e somente se n1 .
Calcule, se existir:a ) int_(- oo)^(+ oo) sen x d x b ) underset(r - + oo)(lim) int_(- r)^(+ r) sen x d x