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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 4

Seja f contínua em [ 0 , t ] , para todo t > 0 , e suponha que existem constantes M > 0 e γ > 0 tais que, para todo t ≥ 0 ,

f t ≤ M e γ t

Prove que ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t é convergente para s > γ .

Observação. Uma função f se diz de ordem exponencial γ se existem constantes M > 0 e γ > 0 tais que 1 se verifica.

Passo 1

O problema basicamente nos pede que provemos a convergência da seguinte integral:

∫ 0 + ∞ e - s t f t d t

OBS: mais tarde a gente vai ver que essa integral é muito importante pra resolver EDO .

Bem, chega de papo furado e vamos primeiro olhar para o que estamos integrando. Repara o seguinte:

E = e - s t f t

Do enunciado:

0 ≤ f t ≤ M e γ t

Como o e - s t é sempre positivo, vamos multiplicar a nossa inequação, logo:

0 ≤ e - s t f t ≤ e - s t M e γ t

Arrumando as coisas aí teremos:

0 ≤ e - s t f t ≤ M e - ( s - γ ) t

Beleza! Mas e daí? Venha comigo para o passo 2 que você vai entender .

Passo 2

Pelo Teorema do nosso capítulo, sabemos o seguinte:

∫ 0 + ∞ e - α x d x         é   c o n v e r g e n t e   p a r a     α > 0

Se chamarmos α de s - λ , como para s > λ temos s - λ > 0 e M é apenas uma constante:

∫ 0 + ∞ M e - ( s - λ ) t     t a m b é m   s e r á   c o n v e r g e n t e

POXA VIDA! Já sabemos lá do passo 1 que...

0 ≤ e - s t f t ≤ M e - ( s - γ ) t

E como se dada duas funções f ( x ) e g ( x ) tal que:

0 ≤ f x ≤ g ( x )

Se ∫ 0 ∞ g ( x ) for convergente, então ∫ 0 ∞ f ( x ) também será. A gente logo conclui que a integral de e - s t f t deve também ser convergente:

∫ 0 ∞ e - s t f t d t       s e r á   c o n v e r g e n t e

“AHHH! Mas isso ainda não é o que queremos provar, será que eu errei?”

CALLMA meu jovem! Não tire essas conclusões precipitadas! Ainda falta mais um passo .

Passo 3

Como nossa função é integrável para todo t ≥ 0 , de acordo com a nossa teoria...

Se ∫ 0 ∞ e - s t f t d t é convergente, então ∫ 0 ∞ e - s t f t d t também será convergente!

E está aí! A prova de que se f t ≤ M e γ t ( f t for de ordem exponencial) então...

∫ 0 ∞ e - s t f t d t   →       c o n v e r g e !   : )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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