Suponha que f e g sejam funções contínuas e que 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) se x ≥ a . Dê um argumento informal razoável para explicar por que os seguintes argumentos são verdadeiros.

(a)Se ∫ a + ∞ f x d x diverge, então ∫ a + ∞ g x d x diverge.

(b)Se ∫ a + ∞ g x d x converge, então ∫ a + ∞ f x d x converge.

[Nota: Os resultados neste exercício são, às vezes, chamados testes de comparação para integrais impróprias.]

Passo 1

(a)Considerando f ( x ) com valores menores que g ( x ) a partir de x = a , se ambas a funções têm comportamento assintótico (que forma assíntota), a integral entre a e + ∞ pode (ou não) resultar em um valor numérico.

Sendo um valor numérico, a integral converge; sendo um valor infinito ou indeterminado, diverge.

Se é afirmado que f , a função menor, diverge no intervalo observado, necessariamente a função maior também precisa divergir, ou seja, também precisa ter área infinita ou indeterminada.

Passo 2

(b)Considerando o mesmo raciocínio do passo anterior, se a função maior converge no intervalo, a função que assume valores menores no mesmo intervalo necessariamente também deve convergir, ou seja, ter com oárea um valor numérico.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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