Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 52
Suponha que e sejam funções contínuas e que se . Dê um argumento informal razoável para explicar por que os seguintes argumentos são verdadeiros.
(a)Se diverge, então diverge.
(b)Se converge, então converge.
[Nota: Os resultados neste exercício são, às vezes, chamados testes de comparação para integrais impróprias.]
Passo 1
(a)Considerando com valores menores que a partir de , se ambas a funções têm comportamento assintótico (que forma assíntota), a integral entre e pode (ou não) resultar em um valor numérico.
Sendo um valor numérico, a integral converge; sendo um valor infinito ou indeterminado, diverge.
Se é afirmado que , a função menor, diverge no intervalo observado, necessariamente a função maior também precisa divergir, ou seja, também precisa ter área infinita ou indeterminada.
Passo 2
(b)Considerando o mesmo raciocínio do passo anterior, se a função maior converge no intervalo, a função que assume valores menores no mesmo intervalo necessariamente também deve convergir, ou seja, ter com oárea um valor numérico.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)