Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 23

Calcule as integrais que convirjam.

int_(pi // 3)^(pi // 2) (s e n x)/(sqrt(1 - 2 cos x)) d x

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

int_(pi // 3)^(pi // 2) (s e n x)/(sqrt(1 - 2 cos x)) d x

O integrando não está definido para o limite inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

int_(pi // 3)^(pi // 2) (s e n x)/(sqrt(1 - 2 cos x)) d x = underset(a -> ( pi // 3 )^+)(lim) int_a^(pi // 2) (s e n x)/(sqrt(1 - 2 cos x)) d x

Assim, caso o limite não exista, a integral será divergente.

Passo 3

Dessa forma, resolvendo o limite através do método da substituição simples com:

u = 1 - 2 cos x , t a l q u e d u = 2 s e n x d x

Teremos:

Quando x = pi // 2 -> u = 1

Quando x = a -> u = 1 - 2 cos a

Logo:

underset(a -> ( pi // 3 )^+)(lim) int_a^(pi // 2) (s e n x)/(sqrt(1 - 2 cos x)) d x = underset(a -> ( pi // 3 )^+)(lim) int_(1 - 2 cos a)^1 (1)/(sqrt(u)) ((d u)/(2))

E resolvendo a integral:

underset(a -> ( pi // 3 )^+)(lim) int_(1 - 2 cos a)^1 (1)/(sqrt(u)) ((d u)/(2)) = (1)/(2) underset(a -> ( pi // 3 )^+)(lim) [2 sqrt(u)] | [[1],[1,-,2,cos a]]

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

underset(a -> ( pi // 3 )^+)(lim) int_a^(pi // 2) (s e n x)/(sqrt(1 - 2 cos x)) d x = underset(a -> ( pi // 3 )^+)(lim) [sqrt(1) - sqrt(1 - 2 cos a)]

Logo:

underset(a -> ( pi // 3 )^+)(lim) int_a^(pi // 2) (s e n x)/(sqrt(1 - 2 cos x)) d x = 1 - 0 = 1

Como o limite resultou em um valor inteiro, a integral é convergente.

Resposta

int_(pi // 3)^(pi // 2) (s e n x)/(sqrt(1 - 2 cos x)) d x = 1

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