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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 59

Em teoria eletromagnética, o potencial magnético em um ponto no eixo de uma bobina circular é dado por

u = 2 π N I r k ∫ a + ∞ d x r 2 + x 2 3 2

onde N , I , r , k e a são constantes. Encontre u .

Passo 1

Para resolvermos essa questão vamos aplicar uma substituição trigonométrica x = r tan ⁡ θ ,

∫ d x r 2 + x 2 3 2 = 1 r 2 ∫ cos ⁡ θ d θ

Resolvendo a integração, temos:

= 1 r 2 sin ⁡ θ + C

Aplicando a substituição:

= x r 2 r 2 + x 2 + C

Passo 2

Por fim, calculamos os limites de integração:

lim l → + ∞ ⁡ 2 π N I r k x r 2 r 2 + x 2 a l

= 2 π N I k r lim l → + ∞ ⁡ l r 2 + l 2 - a r 2 + a 2 a l

= 2 π N I k r 1 - a r 2 + a 2

Prontinho!!

Resposta

u = 2 π N I k r 1 - a r 2 + a 2

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