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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.3 - Ex. 35

Obônus do Governo Britânico é uma apólice que rende ao portados apenas um pagamento anual. Sendo R o Valor atual de um fluxo de pagamentos anuais e usando a taxa de juros correntes anuais de 100 i % , compostos continuamente, mostre que um preço satisfatório de venda de um desses bônus é R i

Passo 1

Vamos começar achando o valor atual de renda de acordo com o pagamento de rendimentos do governo britânico que ele falou

Bem, para acharmos o valor atual da renda, devemos fazer a seguinte integral:

V = ∫ 0 + ∞ f t e - i t d t

Onde f t é a função de rendimento.

A função rendimento vai ser:

f t = R

Então, o que temos que calcualr e:

V = ∫ 0 + ∞ R ∙ e - i t d t

Para resolvermos essa integral imprópria, vamos fazer o seu limite

∫ 0 + ∞ R ∙ e - i t d t = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b R ∙ e - i t d t

Passo 2

Vamos comerçar resolvendo a integral:

∫ R ∙ e - i t d t

Fazendo:

a = - i t → d a = - i d t → d t = - d a i

∫ R ∙ e - i t d t = ∫ R ∙ e a d a - i = - ∫ R i ∙ e a d a   = - R i e a + C

Voltando para   x

- R i e a + C = - R i e - 0,1 t + C

∫ R ∙ e - i t d t = - R i e - i t + C

Passo 3

O nosso limite vai fiacr:

∫ 0 + ∞ R ∙ e - i t d t = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b R ∙ e - i t d t = lim b → + ∞ ⁡ - R i e - i t 0 b

= lim b → + ∞ ⁡ - R i e - i b - - R i e - i 0 =

lim b → + ∞ ⁡ - R i e - i b + R i = - R i e - i + ∞ + R i = R i

Logo

V = R i

Entao o valor atual para que se tenha aaquela renda deve ser R i , então é satisfatório que esse seja o preço de venda para que se tenha esse rendimento R

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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