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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.3 - Ex. 24

Determine se é possível atrivuir um número finito para representar a área da região limitada pela curva cuja equação é

y = 1 ( x 2 - 1 )

E pelo eixo x e pela reta x = 2 . Caso seja possível, determine-o

Passo 1

Basicamente o que ele quer é:

∫ 2 + ∞ d x ( x 2 - 1 )

Colocando o limite da integral imprópria, vamos ter:

∫ 2 + ∞ d x ( x 2 - 1 ) = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 2 b d x ( x 2 - 1 )

Devemos achar a integral indefinida

∫ 1 ( x 2 - 1 )

Então vamos começar por ela.

Passo 2

∫ d x ( x 2 - 1 )

Vamos começar dando uma algebrizada naquela fração:

1 x 2 - 1 = 1 x - 1 x + 1

Usando frações parciais:

1 x 2 - 1 = 1 x - 1 x + 1 = A x - 1 + B x + 1

Vamos ter:

1 = A x + 1 + B x - 1

1 = x A + B + A - B

Logo

A + B = 0

A - B = 1

Pela segunda equação

A = - B

E chegamos em:

A - - A = 1 → A + A = 1 → 2 A = 1 → A = 1 2

B = - 1 2

Nossa integral fica:

∫ d x ( x 2 - 1 ) = 1 2 ∫ 1 x - 1 - 1 x + 1 d x = 1 2 ln ⁡ x - 1 - ln ⁡ x + 1

Juntando esses logs:

1 2 ln ⁡ x - 1 x + 1

Passo 3

Voltando para o limite

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 2 b d x ( x 2 - 1 ) = lim b → + ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ x - 1 x + 1 2 b =

lim b → + ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ b - 1 b + 1 - 1 2 ln ⁡ 2 - 1 2 + 1 = lim b → + ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ b - 1 b + 1 - 1 2 ln ⁡ 1 3 =

Pelas propriedades de limites:

lim b → + ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ b - 1 b + 1 - 1 2 ln ⁡ 3 - 1 = 1 2 ln ⁡ lim b → + ∞ ⁡ b - 1 b + 1 + ln ⁡ 3 2

Temso que resolver aquele limite:

Passo 4

lim b → + ∞ ⁡ b - 1 b + 1

Colocando b em evidência, vamos ter:

lim b → + ∞ ⁡ b - 1 b + 1 = lim b → + ∞ ⁡ b 1 - 1 b b 1 + 1 b = lim b → + ∞ ⁡ 1 - 1 b 1 + 1 b = 1 - 0 1 + 0 = 1

Vamos ter então que o valor dessa área vai ser:

1 2 ln ⁡ lim b → + ∞ ⁡ b - 1 b + 1 + ln ⁡ 3 2 = 1 2 ln ⁡ 1 + ln ⁡ 3 2 = ln ⁡ 3 2

Resposta

ln ⁡ 3 2

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