Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

Para calcular ∫ s e n 5 x cos 8 ⁡ x d x , use a identidade trigonométrica s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x e a substituição u = cos ⁡ x .

Passo 1

Cara, isso é verdade. Na teoria temos uma tabelinha (a 7.3.1) que diz que se o expoente do seno for ímpar, fazemos esse procedimento descrito na afirmação. E por que? Repara que se a gente usar essa identidade, olha como fica nossa integral:

∫ s e n 4 x cos 8 ⁡ x   s e n   x d x = ∫ 1 - cos 2 ⁡ x 2 cos 8 ⁡ x s e n   x d x

Aí quando usamos a substituição u = cos ⁡ x

d u = s e n   x   d x

A integral fica:

∫ 1 - u 2 2   u 2   d u

E isso é uma integral de polinômios, é só fazer a distributiva e calcular a integral de cada termo. Nossa técnica serviu para deixar a integral em cossenos, e deixar a derivada dele, o seno, sozinha, com expoente 1, para essa substituição ser usada com tranquilidade. Belezinha?

Resposta

Verdadeiro

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