Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.

26. ∫ 0 π 3 cos ⁡ x + sec ⁡ x ² d x

Passo 1

De início, o que precisamos fazer é simplificar o máximo possível esse integrando. Sendo assim, abrindo esse produto notável, teremos:

∫ 0 π 3 ( c o s ² x + 2 . cos ⁡ x . sec ⁡ x + s e c ² x ) d x

Sabendo que, de acordo com a trigonometria, c o s 2 x = 1 2 cos ⁡ 2 x + 1 2 , então teremos:

1 2 ∫ 0 π 3 cos ⁡ 2 x d x + 5 2 ∫ 0 π 3 d x + ∫ 0 π 3 s e c 2 x d x

Passo 2

Para resolvermos a primeira e a terceira integral, devemos utilizar o teorema fundamental do cálculo. Em outras palavras, temos que pensar em funções que quando derivadas, resultam naqueles integrandos ali, que são cos ⁡ 2 x e s e c 2 x . Para a primeira, o resultado é 1 2 s e n   2 x e para a segunda, o resultado é t g   x . Substituindo os valores, teremos:

1 2 ∫ 0 π 3 cos ⁡ 2 x d x + 5 2 ∫ 0 π 3 d x + ∫ 0 π 3 s e c 2 x d x = 1 4 s e n   2 x π 3 0 + 5 2 x π 3 0 + t g   x π 3 0  

1 2 ∫ 0 π 3 cos ⁡ 2 x d x + 5 2 ∫ 0 π 3 d x + ∫ 0 π 3 s e c 2 x d x = 1 4 s e n   2 π 3 - s e n   0 + 5 2 π 3 + t g   π 3 - t g   0

1 2 ∫ 0 π 3 cos ⁡ 2 x d x + 5 2 ∫ 0 π 3 d x + ∫ 0 π 3 s e c 2 x d x = 1 4 3 2 + 5 π 6 + 3 4  

∴ ∫ 0 π 3 cos ⁡ x + sec ⁡ x ² d x = 5 π 6 + 9 3 8

Resposta

∫ 0 π 3 cos ⁡ x + sec ⁡ x ² d x = 5 π 6 + 9 3 8

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