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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 26

Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.

26. int_0^((pi)/(3)) (cos x + sec x) ² d x

Passo 1

De início, o que precisamos fazer é simplificar o máximo possível esse integrando. Sendo assim, abrindo esse produto notável, teremos:

int_0^((pi)/(3)) ( c o s ² x + 2 . cos x . sec x + s e c ² x ) d x

Sabendo que, de acordo com a trigonometria, c o s^2 x = (1)/(2) cos 2 x + (1)/(2) , então teremos:

(1)/(2) int_0^((pi)/(3)) cos 2 x d x + (5)/(2) int_0^((pi)/(3)) d x + int_0^((pi)/(3)) s e c^2 x d x

Passo 2

Para resolvermos a primeira e a terceira integral, devemos utilizar o teorema fundamental do cálculo. Em outras palavras, temos que pensar em funções que quando derivadas, resultam naqueles integrandos ali, que são cos 2 x e s e c^2 x . Para a primeira, o resultado é (1)/(2) s e n 2 x e para a segunda, o resultado é t g x . Substituindo os valores, teremos:

(1)/(2) int_0^((pi)/(3)) cos 2 x d x + (5)/(2) int_0^((pi)/(3)) d x + int_0^((pi)/(3)) s e c^2 x d x = (1)/(4) [s e n 2 x] ((pi)/(3))/(0) + (5)/(2) [x] ((pi)/(3))/(0) + [t g x] ((pi)/(3))/(0)

(1)/(2) int_0^((pi)/(3)) cos 2 x d x + (5)/(2) int_0^((pi)/(3)) d x + int_0^((pi)/(3)) s e c^2 x d x = (1)/(4) (s e n (2 pi)/(3) - s e n 0) + (5)/(2) ((pi)/(3)) + (t g (pi)/(3) - t g 0)

(1)/(2) int_0^((pi)/(3)) cos 2 x d x + (5)/(2) int_0^((pi)/(3)) d x + int_0^((pi)/(3)) s e c^2 x d x = (1)/(4) ((sqrt(3))/(2)) + (5 pi)/(6) + (sqrt(3))/(4)

:. int_0^((pi)/(3)) (cos x + sec x) ² d x = (5 pi)/(6) + (9 sqrt(3))/(8)

Resposta

int_0^((pi)/(3)) (cos x + sec x) ² d x = (5 pi)/(6) + (9 sqrt(3))/(8)

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