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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 33

Calcule as integrais dos Exercícios 1-46

33-

int_2^4 x^(2 x) ( 1 + ln x ) d x

Passo 1

A grande sacada para essa questão é substituir o termo x^(2 x) por um termo que leve alguma exponencial junto, tal como:

u = x^(2 x) = e^(ln (x^(2 x))) = e^(2 x l n ( x ))

Não se esquecendo da regra do “peteleco” que diz: y e^x = e^(x y)

Se derivarmos u em relação a x nós teremos:

d u = e^(2 x l n (x)) xx (2 ln x + 2 x xx (1)/(x)) = e^(2 x l n x) xx 2 ( 1 + ln x ) d x

Onde:

(d u)/(2) = x^(2 x) ( 1 + ln x ) d x

Onde magicamente encontramos a função no domínio x todinha representada para ser substituída.

Passo 2

Aplicando a substituição teremos:

int (d u)/(2)

Como é bem mais simples esse domínio, vamos encontrar seus intervalos em relação a u e fechar a integral.

Para x = 2

u = 2^(2 xx 2) = 16

Para x = 4

u = 4^(2 xx 4) = 65536

Passo 3

Logo nossa integral definida em u fica:

int_(16)^(65536) (d u)/(2) = [(u)/(2)]_(16)^(65536) = (65536 - 16)/(2) = 32760

Resposta

32760

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