Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 41

Calcule a integral

int_0^2 (log_2 ( x + 2 ))/(x + 2) d x

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

int_0^2 (log_2 ( x + 2 ))/(x + 2) d x

Esta é uma integral definida. Vamos resolver inicialmente a integral indefinida associada a ela. Isto é,

int (log_2 ( x + 2 ))/(x + 2) d x

Façamos inicialmente uma mudança de variável. Seja u = log_2 (x + 2) , consequentemente, temos d u = (d x)/((x + 2) ln 2) . Portanto, temos:

int (log_2 ( x + 2 ))/(x + 2) d x = int ln 2 u d u = ln 2 * int u d u

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Vamos obter a primitiva da nossa integral. Desta forma, temos:

ln 2 * int u d u = ln 2 * (u^2)/(2) + k

Voltando para a variável inicial, temos:

ln 2 * (u^2)/(2) + k = (ln 2)/(2) * (log_2 (x + 2))^2 + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Passo 4

Vamos agora resolver a integral definida através do teorema fundamental do cálculo. Portanto, temos:

int_0^2 (log_2 ( x + 2 ))/(x + 2) d x = ([(ln 2)/(2) * (log_2 (x + 2))^2]|_0^2

int_0^2 (log_2 ( x + 2 ))/(x + 2) d x = (ln 2)/(2) * [ (log_2 4)^2 - (log_2 2)^2 ]

int_0^2 (log_2 ( x + 2 ))/(x + 2) d x = (ln 2)/(2) * [ 4 - 1 ]

int_0^2 (log_2 ( x + 2 ))/(x + 2) d x = (3 ln 2)/(2)

Resposta

int_0^2 (log_2 ( x + 2 ))/(x + 2) d x = (3 ln 2)/(2)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.int theta root(4)(1 - theta^2) d theta
Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.int sec^2 ((x)/(2)) tg^7 ((x)/(2)) d x
Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.int cos ( 3 z + 4 ) d z
Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.int se n^5 ((x)/(3)) cos ((x)/(3)) d x
Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.int sec^2 ( x ) tg^2 ( x ) d x