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Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 15

Calcule as integrais indefinidas nos Exercícios 1-16 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma padrão

∫ cossec 2 ⁡ 2 θ cotg ⁡ 2 θ d θ

a) u = cotg ⁡ 2 θ

b) u = cossec ⁡ 2 θ

Passo 1

Galera, ao usar substituição precisamos calcular o d u e substituir na integral. Vamos recair numa integral mais simples que normalmente vamos resolver pela tabela de primitivas.

Passo 2

a) Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d θ no final:

u = cotg ⁡ 2 θ → d u = cotg ⁡ 2 θ ' d θ = - 2 cossec 2 ⁡ ( 2 θ ) d θ

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ cossec 2 ⁡ 2 θ cotg ⁡ 2 θ d θ

O último termo é o próprio u !

∫ cossec 2 ⁡ ( 2 θ ) u d θ

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = - 2 cossec 2 ⁡ ( 2 θ ) d θ → - d u 2 = - 1 2 - 2 cossec 2 ⁡ 2 θ d θ → - d u 2 = cossec 2 ⁡ ( 2 θ ) d θ

Agora podemos substituir na integral :D

∫ cossec 2 ⁡ ( 2 θ ) u d θ = ∫ u - d u 2 = - 1 2 ∫ u d u

A integral acima está na tabela das primitivas e vale:

- 1 2 ∫ u d u = - 1 2 u 2 2 + C = - u 2 4 + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ cossec 2 ⁡ 2 θ cotg ⁡ 2 θ d θ = - ( cotg ⁡ ( 2 θ ) ) 2 4 + C

Passo 4

b) Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d θ no final:

u = co ssec ⁡ 2 θ → d u = co ssec ⁡ 2 θ ' d θ = - 2 cossec ⁡ 2 θ cotan ⁡ ( 2 θ ) d θ

Passo 5

Agora é só substituir tudo na integral

∫ cossec 2 ⁡ 2 θ cotg ⁡ 2 θ d θ = ∫ cossec ⁡ 2 θ cossec ⁡ 2 θ cotan ⁡ 2 θ d θ

O primeiro termo é o próprio u !

∫ u cossec ⁡ 2 θ cotan ⁡ 2 θ d θ

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = - 2 cossec ⁡ 2 θ cotan ⁡ ( 2 θ ) d θ → - d u 2 = - 1 2 - 2 cossec ⁡ 2 θ cotan ⁡ ( 2 θ ) d θ → - d u 2 = cossec ⁡ 2 θ cotan ⁡ ( 2 θ ) d θ

Agora podemos substituir na integral :D

∫ u cossec ⁡ 2 θ cotan ⁡ 2 θ d θ

= ∫ u - d u 2 = - 1 2 ∫ u d u

A integral acima está na tabela das primitivas e vale:

- 1 2 ∫ u d u = - 1 2 u 2 2 + C = - u 2 4 + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ cossec 2 ⁡ 2 θ cotg ⁡ 2 θ d θ = - ( co ssec ⁡ ( 2 θ ) ) 2 4 + C

Resposta

a)

- ( cotg ⁡ ( 2 θ ) ) 2 4 + C

b)

- ( cossec ⁡ ( 2 θ ) ) 2 4 + C

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