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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 5

Calcule as integrais indefinidas nos Exercícios 1-16 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma padrão

∫ 3 x + 2 3 x 2 + 4 x 4 d x ,     u = 3 x 2 + 4 x

Passo 1

Galera, ao usar substituição precisamos calcular o d u e substituir na integral. Vamos recair numa integral mais simples que normalmente vamos resolver pela tabela de primitivas.

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d x no final:

u = 3 x 2 + 4 x → d u = 3 x 2 + 4 x ' d x = ( 6 x + 4 ) d x

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ 3 x + 2 3 x 2 + 4 x 4 d x

O termo entre parênteses elevado a 4 é o próprio u !

∫ 3 x + 2 3 x 2 + 4 x 4 d x = ∫ 3 x + 2 u 4 d x

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = 6 x + 4 d x → d u = 2 3 x + 2 d x → d u 2 = 3 x + 2 d x

Agora podemos substituir na integral :D

∫ 3 x + 2 u 4 d x = ∫ u 4 d u 2 = 1 2 ∫ u 4 d u

Agora temos a integral de um polinômio que vale

1 2 ∫ u 4 d u = 1 2 u 5 5 + C = u 5 10 + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ 3 x + 2 3 x 2 + 4 x 4 d x = ( 3 x 2 + 4 x ) 4 10 + C

Resposta

( 3 x 2 + 4 x ) 4 10 + C

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