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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 11

Calcule as integrais indefinidas nos Exercícios 1-16 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma padrão

∫ 9 r 2 1 - r 3 d r ,     u = 1 - r 3

Passo 1

Galera, ao usar substituição precisamos calcular o d u e substituir na integral. Vamos recair numa integral mais simples que normalmente vamos resolver pela tabela de primitivas.

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d r no final:

u = 1 - r 3 → d u = 1 - r 3 ' d r = - 3 r 2 d r

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ 9 r 2 1 - r 3 d r

O termo dentro da raiz é o próprio u !

∫ 9 r 2 u d r

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = - 3 r 2 d r → ( - 3 ) d u = ( - 3 ) - 3 r 2 d r → ( - 3 ) d u = ( 9 r 2 ) d r

Agora podemos substituir na integral :D

∫ 9 r 2 u d r = ∫ ( - 3 d u ) u = - 3 ∫ 1 u d u = - 3 ∫ u - 1 2 d u

Agora pela tabela de primitivas sabemos que essa é a integral de um polinômio

- 3 ∫ u - 1 2 d u = - 3 2 u 1 2 + C = - 6 u + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ 9 r 2 1 - r 3 d r = - 6 1 - r 3 + C

Resposta

- 6 1 - r 3 + C

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