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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 20

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int 3 y sqrt(7 - 3 y^2) d y

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de sqrt(y) com 7 - 3 y^2 , então vamos fazer

u = 7 - 3 y^2

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d y no final:

u = 7 - 3 y^2 -> d u = (7 - 3 y^2)^' d y = (- 6 y) d y

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

int 3 y sqrt(7 - 3 y^2) d y

O termo dentro da raiz é o próprio u !

int 3 y sqrt(u) d y

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = (- 6 y) d y -> - (d u)/(2) = (- (1)/(2)) (- 6 y) d y -> - (d u)/(2) = 3 y d y

Agora podemos substituir na integral :D

int 3 y sqrt(u) d y = int sqrt(u) (- (d u)/(2)) = - (1)/(2) int sqrt(u) d u = - (1)/(2) int u^((1)/(2)) d u

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

- (1)/(2) int u^((1)/(2)) d u = (- (1)/(2)) ((2)/(3) u^((3)/(2))) + C = - (u sqrt(u))/(3) + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

int 3 y sqrt(7 - 3 y^2) d y = - ((7 - 3 y^2) sqrt(7 - 3 y^2))/(3) + C

Resposta

- ((7 - 3 y^2) sqrt(7 - 3 y^2))/(3) + C

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