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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 30

Calcule a integral

int_1^4 (2^(sqrt(x)))/(sqrt(x)) d x

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

int_1^4 (2^(sqrt(x)))/(sqrt(x)) d x

Esta é uma integral definida. Vamos resolver inicialmente a integral indefinida associada a ela. Isto é,

int (2^(sqrt(x)))/(sqrt(x)) d x

Façamos primeiramente uma mudança de variável. Se chamarmos u = sqrt(x) , teremos d u = (d x)/(2 sqrt(x)) . Portanto, fazendo esta substituição na integral, obtemos:

int (2^(sqrt(x)))/(sqrt(x)) d x = int 2 * 2^u d u = 2 * int 2^u d u

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Esta integral que obtemos é equivalente a seguinte integral, à qual já foi resolvida no livro.

int a^u d u = (a^u)/(ln a) + k

E, para o nosso caso, temos que a = 2 . Portanto, a solução da nossa integral é:

2 * int 2^u d u = 2 * (2^u)/(ln 2) + k

Voltando para a variável inicial, temos:

2 * (2^u)/(ln 2) + k = 2 (2^(sqrt(x)))/(ln 2) + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Passo 4

Vamos agora resolver a integral definida através do teorema fundamental do cálculo. Portanto, temos:

int_1^4 (2^(sqrt(x)))/(sqrt(x)) d x = ([2 (2^(sqrt(x)))/(ln 2)]|_1^4 = (2)/(ln 2) * ([2^(sqrt(x))]|_1^4

int_1^4 (2^(sqrt(x)))/(sqrt(x)) d x = (2)/(ln 2) * ( 2^2 - 2^1 )

int_1^4 (2^(sqrt(x)))/(sqrt(x)) d x = (2)/(ln 2) * (4 - 2) = (4)/(ln 2)

Resposta

int_1^4 (2^(sqrt(x)))/(sqrt(x)) d x = (4)/(ln 2)

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