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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 28

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int r^4 (7 - (r^5)/(1 0))^3 d r

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de r^3 com 7 - (r^5)/(10) , então vamos fazer

u = 7 - (r^5)/(10)

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d r no final:

u = (7 - (r^5)/(10)) -> d u = (7 - (r^5)/(10))^' d r = (- (r^4)/(2)) d r

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

int r^4 (7 - (r^5)/(10))^3 d r

Temos então que

int r^4 (u)^3 d r

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = (- (r^4)/(2)) d r -> ( - 2 ) d u = (- 2) (- (r^4)/(2)) d r -> ( - 2 ) d u = r^4 d r

Agora podemos substituir na integral :D

int r^4 (u)^3 d r = int u^3 ( - 2 d u ) = - 2 int u^3 d u

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

- 2 int u^3 d u = (- 2) ((u^4)/(4)) + C = - (u^4)/(2) + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

int r^4 (7 - (r^5)/(10))^3 d r = - (1)/(2) (7 - (r^5)/(10))^4 + C

Resposta

- (1)/(2) (7 - (r^5)/(10))^4 + C

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