Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ r 4 7 - r 5 1 0 3 d r

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de r 3 com   7 - r 5 10 , então vamos fazer

u = 7 - r 5 10

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d r no final:

u = 7 - r 5 10 → d u = 7 - r 5 10 ' d r = - r 4 2 d r

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ r 4 7 - r 5 10 3 d r

Temos então que

∫ r 4 u 3 d r

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = - r 4 2 d r → ( - 2 ) d u = - 2 - r 4 2 d r → ( - 2 ) d u = r 4 d r

Agora podemos substituir na integral :D

∫ r 4 u 3 d r = ∫ u 3 ( - 2 d u ) = - 2 ∫ u 3 d u

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

- 2 ∫ u 3 d u = - 2 u 4 4 + C = - u 4 2 + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ r 4 7 - r 5 10 3 d r = - 1 2 7 - r 5 10 4 + C

Resposta

- 1 2 7 - r 5 10 4 + C

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