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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.6 - Ex. 31 b

31 - Integrais elípticas - O comprimento da elipse:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

vem a ser:

C o m p r i m e n t o =   4 a ∫ 0 π 2 1 - e 2 cos 2 ⁡ t d t

onde e = a 2 - b 2 a é a excentricidade da elipse. A integral nesta fórmula chamada integral elíptica , é não elementar, exceto quando e = 0 ou 1.

B – Use o fato de que o valor absoluto da segunda derivada de f t = 1 - e 2 cos 2 ⁡ t   é inferior a 1 para determinar um limitante superior para o erro na estimativa obtida no item (a).

Passo 1

Teremos assim conforme o enunciado:

f ' ' t < 1 ⇒ M = 1

Dado a fórmula:

E T ≤ b - a 12 ∆ t M 2

Os limites de integração são: b = π 2   e   a = 0

Calculamos no item a que: ∆ t = π 20

E T ≤ π 2 - 0 12 π 20 ⋅ 1 2

Assim:

E t ≤ π 24 ⋅ π 2 400

Resolvendo a expressão temos:

π 3 9600 ≈ 0,003 2

Assim na expressão teremos:

E T ≤ 0 , 003 2

Resposta

E T ≤ 0,0032

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