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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 27

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int r^2 ((r^3)/(18) - 1)^5 d r

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de r^5 com (r^3)/(18) - 1 , então vamos fazer

u = (r^3)/(18) - 1

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d r no final:

u = (r^3)/(18) - 1 -> d u = ((r^3)/(18) - 1)^' d r = ((r^2)/(6)) d r

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

int r^2 ((r^3)/(18) - 1)^5 d r

Temos então que

int r^2 (u)^5 d r

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = ((r^2)/(6)) d r -> 6 d u = (6) ((r^2)/(6)) d r -> 6 d u = r^2 d r

Agora podemos substituir na integral :D

int r^2 (u)^5 d r = int u^5 ( 6 d u ) = 6 int u^5 d u

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

6 int u^5 d u = (6) ((u^6)/(6)) + C = u^6 + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

int r^2 ((r^3)/(18) - 1)^5 d r = ((r^3)/(18) - 1)^6 + C

Resposta

((r^3)/(18) - 1)^6 + C

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