Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 69
Avalie a integral definida.
Passo 1
Opa, bora resolver essa questão 😊? Precisamos calcular a integral definida
🤔 Mas como fazemos isso?
Primeiro, precisamos saber se essa integral pode ser calculada. Ou seja, se o integrando é uma função contínua, definida no intervalo
Geralmente elas vão ser contínuas nos respectivos intervalos, mas é sempre bom ficar atento porque seu professor pode gostar de uma pegadinha 🤣.
Uma vez que sabemos que podemos calculá-la, vamos utilizar a Regra da Substituição para transformar essa integral aparentemente complicada em uma outra beeeeem mais fácil.
🤔 Como usamos essa Regra nessa questão?
Bem, precisamos escolher um termo do integrando
e substituí-lo por uma nova variável . A sacada pra essa escolha é pensar em um termo cuja derivada em relação à variável também apareça no integrando, beleza?
Uma dica seria olhar para o integrando e pensar: “o que se a gente removesse daqui iria simplificar pra integrarmos?” Um palpite seria escolhermos
pois
então teríamos que
que é bem mais fácil de calcular pois conhecemos uma fórmula para a integral de certo?
Na prática, vamos fazer a seguinte transformação na integral dada:
onde
👀 Então, fique ligado! Vamos precisar:
- Verificar se o integrando
- Fazer a mudança de variável adequada para conseguimos reescrevermos a integral dada como uma integral mais simples.
- Calcular a integral mais simples
é contínuo e está definido no intervalo de integração .
e obter a resposta para a questão!
Observe que não retornamos à variável após a integração, pois vamos calcular a expressão em já no intervalo apropriado .
Não se assuste, parece complicado né? Mas esse é um tipo de cálculo que requer prática, te garanto que depois de alguns exercícios você vai tá voando na escolha do e no processo de substituição 😉.
Temos tudo o que precisamos para resolver essa questão 😎!
Passo 2
Vamos começar verificando se o integrando
é uma função contínua, definida no intervalo de integração .
Observe que é uma função racional, cujo denominador consiste no produto da função polinomial com a função composta Sendo assim, vamos avaliar cada parte separadamente.
O numerador de é uma função costante, logo, definida e contínua em todo
Vamos analisar o denominador!
A função polinomial também é definida e contínua em todo . Já a função raiz quadrada é definida apenas para os valores reais não negativos (), enquanto a função logarítmica é definida para os reais positivos ().
Sendo assim, o denominador
está definido para todo , logo, o integrando
está definido no intervalo de integração e é uma função contínua nele, pois todas as funções envolvidas são contínuas em seus respectivos domínios.
Dessa forma, podemos calcular a integral definida
Passo 3
Analisando com calma o integrando da integral
observamos que definindo
e
então
Além disso, derivando em relação à variável , temos que
ou seja,
Logo, substituindo os respectivos valores, vale que
ou seja, temos que a integral do enunciado é dada por
Sendo assim, pela Regra da Substituição podemos reescrevê-la da seguinte forma:
onde
e
Portanto, temos que
ou seja, descobrimos que
Mas observe que essa integral da direita, em função da variável , nós temos uma fórmula que facilita o seu cálculo, né? Observe como faremos isso no próximo Passo 😊!
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral rescrita na forma mais simples:
Como pela Regra da Potência e pelo Teorema Fundamental do Cálculo vale que
então avaliando nos extremos do intervalo de integração, temos que:
- Em
- Em
Então,
e vale que
Logo, como
e
então a integral procurada vale
Resposta
O valor da integral é: