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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 69

Avalie a integral definida.

∫ e e 4 d x x ln ⁡ x .

Passo 1

Opa, bora resolver essa questão 😊? Precisamos calcular a integral definida

∫ e e 4 d x x ln ⁡ x .

🤔 Mas como fazemos isso?

Primeiro, precisamos saber se essa integral pode ser calculada. Ou seja, se o integrando é uma função contínua, definida no intervalo e , e 4 .

Geralmente elas vão ser contínuas nos respectivos intervalos, mas é sempre bom ficar atento porque seu professor pode gostar de uma pegadinha 🤣.

Uma vez que sabemos que podemos calculá-la, vamos utilizar a Regra da Substituição para transformar essa integral aparentemente complicada em uma outra beeeeem mais fácil.

🤔 Como usamos essa Regra nessa questão?

Bem, precisamos escolher um termo do integrando

1 x ln ⁡ x d x

e substituí-lo por uma nova variável u . A sacada pra essa escolha é pensar em um termo cuja derivada em relação à variável x também apareça no integrando, beleza?

Uma dica seria olhar para o integrando e pensar: “o que se a gente removesse daqui iria simplificar pra integrarmos?” Um palpite seria escolhermos

u = ln ⁡ x

pois

d u d x = 1 x   → d u = 1 x   d x ,

então teríamos que

1 x ln ⁡ x d x = 1 u d u

que é bem mais fácil de calcular pois conhecemos uma fórmula para a integral de f u = u - 1 2 certo?

Na prática, vamos fazer a seguinte transformação na integral dada:

∫ e e 4 f g x g ' x d x =   ∫ g e g e 4 f u   d u ,

onde

u = g x .

👀 Então, fique ligado! Vamos precisar:

  • Verificar se o integrando

    • 1 x ln ⁡ x

    é contínuo e está definido no intervalo de integração e , e 4 .

  • Fazer a mudança de variável u = g x adequada para conseguimos reescrevermos a integral dada como uma integral mais simples.
  • Calcular a integral mais simples

∫ g e g e 4 f u   d u

e obter a resposta para a questão!

Observe que não retornamos à variável x após a integração, pois vamos calcular a expressão em u já no intervalo apropriado g e ,   g e 4 .

Não se assuste, parece complicado né? Mas esse é um tipo de cálculo que requer prática, te garanto que depois de alguns exercícios você vai tá voando na escolha do u e no processo de substituição 😉.

Temos tudo o que precisamos para resolver essa questão 😎!

Passo 2

Vamos começar verificando se o integrando

h x = 1 x ln ⁡ x

é uma função contínua, definida no intervalo de integração e , e 4 .

Observe que h é uma função racional, cujo denominador consiste no produto da função polinomial x com a função composta ln ⁡ x . Sendo assim, vamos avaliar cada parte separadamente.

O numerador de h é uma função costante, logo, definida e contínua em todo R .

Vamos analisar o denominador!

A função polinomial x também é definida e contínua em todo R . Já a função raiz quadrada é definida apenas para os valores reais não negativos ( x ≥ 0 ), enquanto a função logarítmica é definida para os reais positivos ( x > 0 ).

Sendo assim, o denominador

x ln ⁡ x

está definido para todo x > 0 , logo, o integrando

h x = 1 x ln ⁡ x

está definido no intervalo de integração [ e ,   e 4 ] e é uma função contínua nele, pois todas as funções envolvidas são contínuas em seus respectivos domínios.

Dessa forma, podemos calcular a integral definida

∫ e e 4 d x x ln ⁡ x .

Passo 3

Analisando com calma o integrando da integral

∫ e e 4 d x x ln ⁡ x ,

observamos que definindo

f x = 1 x = x - 1 2

e

u = g x = ln ⁡ x ,

então

f g x = 1 ln ⁡ x .

Além disso, derivando u em relação à variável x , temos que

d u d x = g ' x = 1 x ,

ou seja,

d u = d x x .

Logo, substituindo os respectivos valores, vale que

∫ e e 4 f g x g ' x   d x =   ∫ e e 4 1 ln ⁡ x ⋅ d x x =   ∫ e e 4 d x x ln ⁡ x ,

ou seja, temos que a integral do enunciado é dada por

∫ e e 4 d x x ln ⁡ x = ∫ e e 4 f g x g ' x   d x .

Sendo assim, pela Regra da Substituição podemos reescrevê-la da seguinte forma:

∫ e e 4 d x x ln ⁡ x = ∫ g e g e 4 f u   d u ,

onde

g e = ln ⁡ e = 1

e

g e 4 = ln ⁡ e 4 = 4 .

Portanto, temos que

∫ g e g e 4 f u d u = ∫ 1 4 u - 1 2 d u ,

ou seja, descobrimos que

∫ e e 4 d x x ln ⁡ x =   ∫ 1 4 u - 1 2 d u .

Mas observe que essa integral da direita, em função da variável u , nós temos uma fórmula que facilita o seu cálculo, né? Observe como faremos isso no próximo Passo 😊!

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral rescrita na forma mais simples:

∫ 1 4 u - 1 2 d u .

Como pela Regra da Potência e pelo Teorema Fundamental do Cálculo vale que

∫ 1 4 u - 1 2 d u = u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 1 4 = 2 u 1 2 1 4 ,

então avaliando 2 u 1 2 nos extremos do intervalo de integração, temos que:

  • Em u = 4

    • 2 u 1 2 = 2 ⋅ 4 1 2 = 4 .

  • Em u = 1

2 u 1 2 = 2 ⋅ 1 1 2 = 2 .

Então,

2 u 1 2 1 4 = 4 - 2 = 2

e vale que

∫ 1 4 u - 1 2   d u = 2 .

Logo, como

∫ e e 4 d x x ln ⁡ x =   ∫ 1 4 u - 1 2   d u

e

∫ 1 4 u - 1 2   d u = 2 ,

então a integral procurada vale

∫ e e 4 d x x ln ⁡ x = 2 .

Resposta

O valor da integral é:

∫ e e 4 d x x ln ⁡ x = 2 .

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