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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 10

Calcule as integrais indefinidas nos Exercícios 1-16 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma padrão

∫ 1 - cos ⁡ t 2 2 sen ⁡ t 2 d t ,     u = 1 - cos ⁡ t 2

Passo 1

Galera, ao usar substituição precisamos calcular o d u e substituir na integral. Vamos recair numa integral mais simples que normalmente vamos resolver pela tabela de primitivas.

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d t no final:

u = 1 - cos ⁡ t 2 → d u = 1 - cos ⁡ t 2 ' d t = 1 ' - cos ⁡ t 2 ' d t

Agora precisamos usar a regra da cadeia para derivar aquele cosseno, pois temos a composição de cos ⁡ t com t / 2 . Logo,

d u = 0 - - sen ⁡ t 2 1 2 d t → d u = sen ⁡ t 2 2 d t

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ 1 - cos ⁡ t 2 2 sen ⁡ t 2 d t

Os termos entre parênteses é o próprio u !

∫ u 2 sen ⁡ t 2 d t

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = sen ⁡ t 2 2 d t → 2 d u = 2 sen ⁡ t 2 2 d t → 2 d u = sen ⁡ t 2 d t

Agora podemos substituir na integral :D

∫ u 2 sen ⁡ t 2 d t = ∫ u 2 ( 2 d u ) = 2 ∫ u 2 d u

Agora pela tabela de primitivas sabemos que essa é a integral da sec ⁡ u

2 ∫ u 2 d u = 2 u 3 3 + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ 1 - cos ⁡ t 2 2 sen ⁡ t 2 d t = 2 1 - cos ⁡ t 2 3 3 + C

Resposta

2 1 - cos ⁡ t 2 3 3 + C

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