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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 33

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int (1)/(t^2) cos ((1)/(t) - 1) d t

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de cos t com (1)/(t) - 1 , então vamos fazer

u = (1)/(t) - 1

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d t no final:

u = ((1)/(t) - 1) -> d u = ((1)/(t) - 1)^' d t = (- (1)/(t^2)) d t

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

int (1)/(t^2) cos ((1)/(t) - 1) d t

Temos então que

int (1)/(t^2) cos (u) d t

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = (- (1)/(t^2)) d t -> - d u = (- 1) (- (1)/(t^2)) d t -> - d u = (1)/(t^2) d t

Agora podemos substituir na integral :D

int (1)/(t^2) cos (u) d t = int cos (u) (- d u) = - int cos ( u ) d u

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

- int cos (u) d u = (- 1) (sen (u)) + C = - s e n ( u ) + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

int (1)/(t^2) sen ((1)/(t) - 1) d t = - s e n ((1)/(t) - 1) + C

Resposta

- s e n ((1)/(t) - 1) + C

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