Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ 1 t 2 cos ⁡ 1 t - 1 d t

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de cos ⁡ t com   1 t - 1 , então vamos fazer

u = 1 t - 1

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d t no final:

u = 1 t - 1 → d u = 1 t - 1 ' d t = - 1 t 2 d t

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ 1 t 2 cos ⁡ 1 t - 1 d t

Temos então que

∫ 1 t 2 cos ⁡ u d t

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = - 1 t 2 d t → - d u = - 1 - 1 t 2 d t → - d u = 1 t 2 d t

Agora podemos substituir na integral :D

∫ 1 t 2 cos ⁡ u d t = ∫ cos ⁡ u - d u = - ∫ cos ⁡ ( u ) d u

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

- ∫ cos ⁡ u d u = - 1 sen ⁡ u + C = - s e n ⁡ ( u ) + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ 1 t 2 sen ⁡ 1 t - 1 d t = - s e n ⁡ 1 t - 1 + C

Resposta

- s e n ⁡ 1 t - 1 + C

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