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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 1g

Calcule.

int_0^1 (1)/((x + 1)^5) d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0 d x -> d u = d x

E temos que os novos limites de integração vão ser:

x = 0 -> u = 0 + 1 = 1

x = 1 -> u = 1 + 1 = 2

Vamos agora fazer a substituição:

int_0^1 (1)/((x + 1)^5) d x = int_1^2 (1)/(u^5) d u = int_1^2 u^(- 5) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

int u^(- 5) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int u^(- 5) d u = (u^(- 5 + 1))/(- 5 + 1) = (u^(- 4))/(- 4) = - (1)/(4 u^4) + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Ficamos então com:

int_1^2 u^(- 5) d u = (- (1)/(4 u^4))_1^2 = - (1)/(4 * 2^4) - (- (1)/(4 * 1^4)) = - (1)/(64) + (1)/(4) = (- 1 + 16)/(64) = (15)/(64)

Resposta

int_0^1 (1)/((x + 1)^5) d x = (15)/(64)

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