Calcule.

∫ 0 1 3 x + 1 d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 3 x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 3 + 0   d x → d u = 3 d x

E temos que os novos limites de integração vão ser:

x = 0 → u = 3 ⋅ 0 + 1 = 1

x = 1 → u = 3 ⋅ 1 + 1 = 4

Vamos agora fazer a substituição:

∫ 0 1 3 x + 1 d x = ∫ 1 4 u d u = ∫ 1 4 u 1 2 3 d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ u 1 2 3 d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ u 1 2 3 d u = 1 3 ∫ u 1 2 d u = 1 3 ⋅ u 1 2 + 1 1 2 + 1 = 1 3 ⋅ u 3 2 3 2 = 1 3 ⋅ 2 u 3 2 3 = 2 u 3 2 9 + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

∫ 1 4 u 1 2 3 d u = 2 u 3 2 9 1 4 = 2 ⋅ 4 3 2 9 - 2 ⋅ 1 3 2 9 = 2 ⋅ 8 9 - 2 ⋅ 1 9 = 16 9 - 2 9 = 14 9

Resposta

∫ 0 1 3 x + 1 d x = 14 9

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