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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 1c

Calcule.

int_0^1 sqrt(3 x + 1) d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 3 x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 3 + 0 d x -> d u = 3 d x

E temos que os novos limites de integração vão ser:

x = 0 -> u = 3 * 0 + 1 = 1

x = 1 -> u = 3 * 1 + 1 = 4

Vamos agora fazer a substituição:

int_0^1 sqrt(3 x + 1) d x = int_1^4 sqrt(u) d u = int_1^4 (u^((1)/(2)))/(3) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

int (u^((1)/(2)))/(3) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int (u^((1)/(2)))/(3) d u = (1)/(3) int u^((1)/(2)) d u = (1)/(3) * ((u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1)) = (1)/(3) * ((u^((3)/(2)))/((3)/(2))) = (1)/(3) * (2 u^((3)/(2)))/(3) = (2 u^((3)/(2)))/(9) + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Ficamos então com:

int_1^4 (u^((1)/(2)))/(3) d u = ((2 u^((3)/(2)))/(9))_1^4 = (2 * 4^((3)/(2)))/(9) - (2 * 1^((3)/(2)))/(9) = (2 * 8)/(9) - (2 * 1)/(9) = (16)/(9) - (2)/(9) = (14)/(9)

Resposta

int_0^1 sqrt(3 x + 1) d x = (14)/(9)

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