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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 1n

Calcule.

int_0^1 (x^2)/(1 + x^3) d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 1 + x^3

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 0 + 3 x^2 d x -> d u = 3 x^2 d x -> (d u)/(3) = x^2 d x

E temos que os novos limites de integração vão ser:

x = 0 -> u = 1 + 0^3 = 1

x = 1 -> u = 1 + 1^3 = 2

Vamos agora fazer a substituição:

int_0^1 (x^2)/(1 + x^3) d x = int_1^2 (1)/(3 u) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

int (1)/(3 u) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int (1)/(3 u) d u = (1)/(3) int (1)/(u) d u = (1)/(3) ln |u| + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Ficamos então com:

int_1^2 (1)/(3 u) d u = ((1)/(3) ln |u|)_1^2 = (1)/(3) ln |2| - ((1)/(3) ln |1|) = (ln 2)/(3) - 0 = (ln 2)/(3)

Resposta

int_0^1 (x^2)/(1 + x^3) d x = (ln 2)/(3)

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