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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 39

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int (1)/(x^2) sqrt(2 - (1)/(x)) d x

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de sqrt(x) com 2 - (1)/(x) , então vamos fazer

u = 2 - (1)/(x)

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d x no final:

u = 2 - (1)/(x) -> d u = (2 - (1)/(x))^' d x = ((1)/(x^2)) d x

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

int (1)/(x^2) sqrt(2 - (1)/(x)) d x

Temos então que

int (1)/(x^2) sqrt(u) d x

Agora e o resto da integral? Dá uma olhada na expressão do d u ! É igualzinho, então só substituir na integral

int (1)/(x^2) sqrt(u) d x = int sqrt(u) d u = int u^((1)/(2)) d u

Passo 4

Agora podemos resolver a integral acima usando a tabela de primitivas:

int u^((1)/(2)) d u = ((2)/(3) u^((3)/(2))) + C = (2 u sqrt(u))/(3) + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

int (1)/(x^2) sqrt(2 - (1)/(x)) d x = (2 (2 - (1)/(x)) sqrt((2 - (1)/(x))))/(3) + C

Resposta

(2 (2 - (1)/(x)) sqrt((2 - (1)/(x))))/(3) + C

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