Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ cossec ⁡ v - π 2 cotg ⁡ v - π 2 d v

Passo 1

Essa é uma que precisa decorar qual a substituição! Vamos fazer

u = cossec ⁡ v - π 2

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d v no final:

u = cossec ⁡ v - π 2 → d u = cossec ⁡ v - π 2 ' d v = - 1 2 cossec ⁡ v - π 2 cotg ⁡ v - π 2 d v

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ cossec ⁡ v - π 2 cotg ⁡ v - π 2 d v

Mas se você olhar a expressão do d v vai ver que é muito parecido com o integrando. Olha só!

d u = - 1 2 cossec ⁡ v - π 2 cotg ⁡ v - π 2 d v → - 2 d u = - 2 - 1 2 cossec ⁡ v - π 2 cotg ⁡ v - π 2 d v → - 2 d u = cossec ⁡ v - π 2 cotg ⁡ v - π 2 d v

Viu como é exatamente o integrando?! Então a integral vai ficar

∫ - 2 d u

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

∫ - 2 d u = - 2 ∫ d u = - 2 u + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ cossec ⁡ v - π 2 cotg ⁡ v - π 2 d v = - 2 cossec ⁡ v - π 2 + C

Resposta

- 2 cossec ⁡ v - π 2 + C

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