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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 30

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int cossec ((v - pi)/(2)) cotg ((v - pi)/(2)) d v

Passo 1

Essa é uma que precisa decorar qual a substituição! Vamos fazer

u = cossec ((v - pi)/(2))

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d v no final:

u = (cossec ((v - pi)/(2))) -> d u = (cossec ((v - pi)/(2)))^' d v = ((- (1)/(2)) cossec ((v - pi)/(2)) cotg ((v - pi)/(2))) d v

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

int cossec ((v - pi)/(2)) cotg ((v - pi)/(2)) d v

Mas se você olhar a expressão do d v vai ver que é muito parecido com o integrando. Olha só!

d u = ((- (1)/(2)) cossec ((v - pi)/(2)) cotg ((v - pi)/(2))) d v -> - 2 d u = (- 2) ((- (1)/(2)) cossec ((v - pi)/(2)) cotg ((v - pi)/(2))) d v -> - 2 d u = (cossec ((v - pi)/(2)) cotg ((v - pi)/(2))) d v

Viu como é exatamente o integrando?! Então a integral vai ficar

int - 2 d u

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

int - 2 d u = - 2 int d u = - 2 u + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

int cossec ((v - pi)/(2)) cotg ((v - pi)/(2)) d v = - 2 (cossec ((v - pi)/(2))) + C

Resposta

- 2 (cossec ((v - pi)/(2))) + C

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