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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 24

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int sec^2 ( x ) tg^2 ( x ) d x

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de x^2 com tg x , então vamos fazer

u = tg x

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d x no final:

u = tg x -> d u = (tg x)^' d x = (sec^2 x) d x

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

int sec^2 ( x ) tg^2 ( x ) d x

Temos então que

int sec^2 ( x ) u^2 d x

Agora e o resto da integral? O resto da integral é o próprio d u

Agora podemos substituir na integral :D

int sec^2 ( x ) u^2 d x = int u^2 d u

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

int u^2 d u = ((u^3)/(3)) + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

int sec^2 ( x ) tg^2 ( x ) d x = ((( tg x )^3)/(3)) + C

Resposta

((( tg x )^3)/(3)) + C

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