Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ sec 2 ⁡ ( x ) tg 2 ⁡ ( x ) d x

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de x 2 com   tg ⁡ x , então vamos fazer

u = tg ⁡ x

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d x no final:

u = tg ⁡ x → d u = tg ⁡ x ' d x = sec 2 ⁡ x d x

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ sec 2 ⁡ ( x ) tg 2 ⁡ ( x ) d x

Temos então que

∫ sec 2 ⁡ ( x ) u 2 d x

Agora e o resto da integral? O resto da integral é o próprio d u

Agora podemos substituir na integral :D

∫ sec 2 ⁡ ( x ) u 2 d x = ∫ u 2 d u

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

∫ u 2 d u = u 3 3 + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ sec 2 ⁡ ( x ) tg 2 ⁡ ( x ) d x = ( tg ⁡ x ) 3 3 + C

Resposta

( tg ⁡ x ) 3 3 + C

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