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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 3

Suponha f contínua em [- 1,1] . Calcule int_0^1 f (2 x - 1) d x , sabendo que int_(- 1)^1 f (u) d u = 5 .

Passo 1

Vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo na integral definida usando:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Temos então que:

int_(- 1)^1 f (u) d u = 5 -> F (u)_(- 1)^1 = 5 -> F (1) - F (- 1) = 5

Passo 2

Aqui vamos fazer uma mudança de variável:

u = 2 x - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 - 0 d x -> d u = 2 d x

E temos que os novos limites de integração vão ser:

x = 0 -> u = 2 * 0 - 1 = - 1

x = 1 -> u = 2 * 1 - 1 = 1

Vamos agora fazer a substituição:

int_0^1 f (2 x - 1) d x = int_(- 1)^1 (f (u))/(2) d u = (1)/(2) int_(- 1)^1 f (u) d u = (1)/(2) F (u)_(- 1)^1 = (1)/(2) F ((1) - F (- 1))

Chegamos a mesma expressão que na integral de cima, assim:

int_0^1 f (2 x - 1) d x = (1)/(2) F ((1) - F (- 1)) = (1)/(2) * 5 = (5)/(2)

Resposta

int_0^1 f (2 x - 1) d x = (5)/(2)

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