Suponha f contínua em [-1,1] . Calcule ∫ 0 1 f 2 x - 1 d x , sabendo que ∫ - 1 1 f u d u = 5 .

Passo 1

Vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo na integral definida usando:

∫ a b f x d x = F b - F a

Temos então que:

∫ - 1 1 f u d u = 5 → F u - 1 1 = 5 → F 1 - F - 1 = 5

Passo 2

Aqui vamos fazer uma mudança de variável:

u = 2 x - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 - 0   d x → d u = 2 d x

E temos que os novos limites de integração vão ser:

x = 0 → u = 2 ⋅ 0 - 1 = - 1

x = 1 → u = 2 ⋅ 1 - 1 = 1

Vamos agora fazer a substituição:

∫ 0 1 f 2 x - 1 d x = ∫ - 1 1 f u 2 d u = 1 2 ∫ - 1 1 f u d u = 1 2 F u - 1 1 = 1 2 F 1 - F - 1

Chegamos a mesma expressão que na integral de cima, assim:

∫ 0 1 f 2 x - 1 d x = 1 2 F 1 - F - 1 = 1 2 ⋅ 5 = 5 2

Resposta

∫ 0 1 f 2 x - 1 d x = 5 2

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