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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 1d

Calcule.

int_(- 1)^0 (2 x + 5)^3 d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 2 x + 5

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 + 0 d x -> d u = 2 d x

E temos que os novos limites de integração vão ser:

x = - 1 -> u = 2 (- 1) + 5 = 3

x = 0 -> u = 2 * 0 + 5 = 5

Vamos agora fazer a substituição:

int_(- 1)^0 (2 x + 5)^3 d x = int_3^5 (u^3)/(2) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

int (u^3)/(2) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int (u^3)/(2) d u = (1)/(2) int u^3 d u = (1)/(2) * ((u^(3 + 1))/(3 + 1)) = (1)/(2) * ((u^4)/(4)) = (u^4)/(8) + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Ficamos então com:

int_3^5 (u^3)/(2) d u = ((u^4)/(8))_3^5 = (5^4)/(8) - (3^4)/(8) = (625)/(8) - (81)/(8) = (544)/(8) = 68

Resposta

int_(- 1)^0 (2 x + 5)^3 d x = 68

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